设矩阵B=,矩阵A~B,则r(A-E)+r(A-3E)=( )。

admin2022-03-23  69

问题 设矩阵B=,矩阵A~B,则r(A-E)+r(A-3E)=(          )。

选项 A、4
B、5
C、6
D、7

答案C

解析 由矩阵B的特征多项式
=λ(λ+2)(λ-3)2
可得B的特征值为λ1=0,λ2=-2,λ34=3
因为A~B,所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值,又因为B是实对称矩阵,故B可相似于对角矩阵,从而矩阵A也可相似于对角矩阵,所以矩阵A的2重特征值λ34=3,必有2个线性无关的特征向量,由此可知
r(3E-A)=n-2=4-2=2
即r(A-3E)=2,又因为λ=1不是矩阵A的特征值,故知|E-A|≠0,所以r(E-A)=4,即r(A-E)=4.
因此r(A-E)+r(A-3E)=4+2=6,选C。
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