2. 考研
  3. 设矩阵B=,矩阵A～B,则r(A－E)+r(A－3E)=( )。

设矩阵B=,矩阵A～B,则r(A－E)+r(A－3E)=( )。

admin2022-03-23  95
问题 设矩阵B=,矩阵A～B,则r(A－E)+r(A－3E)=(          )。
选项 A、4
B、5
C、6
D、7
答案C
解析 由矩阵B的特征多项式
=λ(λ+2)(λ－3)2
可得B的特征值为λ1=0，λ2=－2，λ3=λ4=3
因为A～B，所以矩阵A与矩阵B有相同的特征值，又因为B是实对称矩阵，故B可相似于对角矩阵，从而矩阵A也可相似于对角矩阵，所以矩阵A的2重特征值λ3=λ4=3，必有2个线性无关的特征向量，由此可知
r(3E－A)=n－2=4－2=2
即r(A－3E)=2,又因为λ=1不是矩阵A的特征值，故知｜E－A｜≠0,所以r(E－A)=4,即r(A－E)=4.
因此r(A－E)+r(A－3E)=4+2=6,选C。
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考研数学三

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