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[2006年] 四维向量组α1=[1+a,1,1,1]T,α2=[2,2+a,2,2]T,α3=[3,3,3+a,3]T,α4=[4,4,4,4+a]T.问a为什么数时,α1,α2,α3,α4线性相关?在α1,α2,α3,α4线性相关时求其一个极大线性无
[2006年] 四维向量组α1=[1+a,1,1,1]T,α2=[2,2+a,2,2]T,α3=[3,3,3+a,3]T,α4=[4,4,4,4+a]T.问a为什么数时,α1,α2,α3,α4线性相关?在α1,α2,α3,α4线性相关时求其一个极大线性无
admin
2019-07-16
75
问题
[2006年] 四维向量组α
1
=[1+a,1,1,1]
T
,α
2
=[2,2+a,2,2]
T
,α
3
=[3,3,3+a,3]
T
,α
4
=[4,4,4,4+a]
T
.问a为什么数时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关?在α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
选项
答案
解一 若α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,即|α
1
,α
2
,α
3
,α
4
|=0,而|α
1
,α
2
,α
3
,α
4
|=a
3
(a+10), 于是当a=0或-10时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 当a=0时,α
1
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的极大无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a=-10时,用初等行变换求其极大无关组. [*] 显然β
1
,β
2
,β
3
为β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组,且β
4
=-β
1
-β
2
-β
3
.由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系,故α
1
,α
2
,α
3
是α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大无关组,且α
4
=-α
1
-α
2
-α
3
. 解二 设A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],对A进行初等行变换,得到 [*] 当a=0时,A的秩等于1,因而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关.此时α
1
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当a≠0时,再对B施以初等行变换,得到 [*] 如果a≠-10,C的秩为4,从而A的秩也为4,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 如果a=-10,C的秩为3,从而A的秩也为3,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 由于v
2
,v
3
,v
4
为v
1
,v
2
,v
3
,v
4
的一个极大线性无关组,且v
1
=-v
2
-v
3
-v
4
,因矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的关系,故α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
1
的一个极大线性无关组,且α
1
=-α
2
-α
3
-α
4
.
解析
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0
考研数学三
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