设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λi=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=________。

admin2019-03-18 97

问题设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ_i=1，属于λ₁的特征向量为(1，一1)^T，若｜A｜=一2，则A=________。

选项

答案[*]

解析设矩阵A的特征值λ₁=1和λ₂对应的特征向量分别为α₁=(1，一1)^T和α₂=(x₁，x₂)^T。
实对称矩阵必可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使得Q^－1AQ=

。而相似矩阵的行列式相等，所以一2=｜A｜=

=λ₂，即λ₂=一2。
又实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交，所以α₁^Tα₂=0，即x₁一x₂=0。方程组x₁一x₂=0的基础解系为α₂=(1，1)^T。
令Q=(α₁，α₂)=

，则

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