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在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.
在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.
admin
2017-08-31
100
问题
在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从点O到A的积分I=∫
L
(1+y
3
)dx+(2x+y)dy的值最小.
选项
答案
I=I(a)=∫
0
π
[(1+a
3
sin
3
x)+(2x+asinx).acosx]dx=π-4a+[*]. 由I
’
(a)=4(a
2
一1)=0,得a=1, I
’’
(a)=8a,由I
’’
(1)=8>0得a=1为I(a)的极小值点, 因为a=1是I(A)的唯一驻点,所以a=1为I(a)的最小值点,所求的曲线为y=sinx.
解析
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考研数学一
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