在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．

admin2017-08-31 70

问题在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫_L(1+y³)dx+(2x+y)dy的值最小．

选项

答案I=I(a)=∫₀^π[(1+a³sin³x)+(2x+asinx)．acosx]dx=π－4a+[*]．由I^’(a)=4(a²一1)=0，得a=1， I^’’(a)=8a，由I^’’(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(A)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．

解析

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