设A是3阶非零矩阵,满足A2=A,且A≠E,则必有( ).

admin2021-07-27  54

问题 设A是3阶非零矩阵,满足A2=A,且A≠E,则必有(          ).

选项 A、r(A)=1
B、r(A-E)=2
C、[r(A)-1][r(A-E)-2]=0
D、[r(A)-1][r(A-E)-1]=0

答案D

解析 A是3阶非零矩阵,则A≠O,r(A)≥1.A≠E,A-E≠0,r(A-E)≥1,因A2=A,即A(A-E)=0,得r(A)+r(A-E)≤3,且1≤r(A)≤2,1≤r(A-E)≤2.故矩阵A的秩r(A)和A-E的秩r(A-E)或者都是1,或者一个是1,另一个是2,即两个中至少有一个的秩为1,故(A),(B),(C)均是错误的,应选(D).
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