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已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程 (2x-1)y”-(2x+1)y’+2y=0 的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程 (2x-1)y”-(2x+1)y’+2y=0 的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
admin
2022-09-22
125
问题
已知y
1
(x)=e
x
，y
2
(x)=u(x)e
x
是二阶微分方程
(2x-1)y”-(2x+1)y’+2y=0
的两个解，若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
选项
答案
由y
2
(x)=u(x)e
x
，得y’
2
=(u’+u)e
x
，y”
2
=(u”+2u’+u)e
x
． 由于y
2
(x)=u(x)e
x
是方程(2x-1)y”-(2x+1)y’的解，将y’
2
，y”
2
代入方程，得 (2x-1)u”+(2x-3)u’=0． 令p(x)=u’(x)，P’(x)=u”(x)，则有 (2x-1)P’+(2x-3)p=0， 解得p(x)=c
1
(2x-1)e
-x
，即du／dx=c
1
(2x-1)e
-x
． 因此u(x)=∫c
1
(2x-1)e
-x
dx=-c
1
(2x+1)e
-x
+c
2
． 又u(-1)=e，u(0)=-1，可得c
1
=1，c
2
=0． 则u(x)=-(2x+1)e
-x
．原微分方程的通解为 y(x)=C
1
e
x
+C
2
(2x+1)(C
1
，C
2
为任意常数)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8Pf4777K
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