二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3． ①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值． ②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．

admin2020-03-16 71

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a-1)x₃²+2x₁x₃-2x₂x₃．
①求f(x₁，x₂，x₃)的矩阵的特征值．
②如果f(x₁，x₂，x₃)的规范形为y₁²+y₂²，求a．

选项

答案①f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为 [*] 记B=[*]．则A=B+aE．求出B的特征多项式｜λE-B｜=λ³+λ²-2λ=λ(λ+2)(λ-1)，B的特征值为-2，0，1，于是A的特征值为a-2，a，a+1． ②因为f(x₁，x₂，x₃)的规范形为y²+y²时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a=2．

解析

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考研数学二

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