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  3. 设f(x)是以2π为周期的二阶可导函数，满足关系式f(x)+2f’(x+π)=sinx，求f(x)．

设f(x)是以2π为周期的二阶可导函数，满足关系式f(x)+2f’(x+π)=sinx，求f(x)．

admin2021-08-05  89
问题 设f(x)是以2π为周期的二阶可导函数，满足关系式f(x)+2f’(x+π)=sinx，求f(x)．
选项
答案若f(x)为可导的周期函数，则f’(x)亦为周期函数，且周期不变，于是f’(x+2π)=f’(x)．于是根据 f(x+π)+2f’(x+2π)=sin(x+π)， 有 f(x+π)+2f’(π)=一sinx， 两边对x求导，得 f’(x+π)+2f”(x)=一cosx． 与题设关系式联立，消去f’(x+π)，得 4f”(x)—f(x)=一sinx一2cosx， (*) 对于4f”(x)一f(x)=0，即f”(x)—[*]f(x)=0，特征方程为r2一[*]=0，得r1,2=±1/2，故对应齐次方程的通解为[*] 设非齐次方程(*)的特解为y*(x)=acosx+6sinx代入方程得a=2/5，b=1/5，故非齐次方程的通解为 [*] 因为f(x+2π)=f(x)，故 [*] 于是C1=C2=0，所以[*]
解析
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考研数学二

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