(2002年)设函数f(x)在x=0某邻域内有一阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a、b的值.

admin2018-06-30  33

问题 (2002年)设函数f(x)在x=0某邻域内有一阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,若af(h)+bf(2h)一f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小,试确定a、b的值.

选项

答案解1 由题设条件知 [*] 由于f(0)≠0,则a+b一1=0 由洛必达法则知 [*] 又f(0)≠0,则a+2b=0,于是a=2,b=一1. 解2 由题设可知 f(h)=f(0)+f’(0)h+o(h) f(2h)=f(0)+2f’(0)h+o(h) 所以,af(h)+by(2h)一f(0)=(a+b一1)f(0)+(a+2b)f’(0)h+o(h) 因此,当a+b-1=0,且a+2b=0时 af(h)+bf(2h)一f(0)=o(h) 故 a=2,b=一1 △解3 由于[*] 由题设可知上式右端极限应为零,又f(0)≠0,则a+b一1=0,从而 [*] 而f’(0)≠0,则a+2b=0 由a+b一1=0及a+2b=0可知,a=2,b=一1

解析
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