(2014年)设函数f(x)具有2阶导数,g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x,则在区间[0,1]上

admin2018-06-30  50

问题 (2014年)设函数f(x)具有2阶导数,g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x,则在区间[0,1]上

选项 A、当f’(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B、当f’(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C、当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D、当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x)

答案D

解析 解1  由于g(0)=f’(0),g(1)=f(1),则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f"(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方,即
                          f(x)≤g(x)
    故应选(D)).
    解2  令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1—x)一f(1)x,则
                    F’(x)=f’(x)+f(0)一f(1),f"(x)=f"(x).
    当f"(x)≥0时,F"(x)≥0.则曲线y=F(x)在区间[0,1]上是凹的,又F(0)=F(1)=0,
    从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).
    解3  令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x,则
           F(x)=f(x)[(1一x)+x]一f(0)(1一x)一f(1)x
               =(1一x)[f(x)一f(0)]一x[f(1)一f(x)]
               =x(1一x)f’(ξ)一x(1一x)f’(η)    (ξ∈(0,x)。η∈(x,1))
               =x(1一x)[f’(ξ)一f’(η)]
    当f"(x)≥0时,f’(x)单调增,f’(ξ)≤f’(η).从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即
    f(x)≤g(x),故应选(D).
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