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  3. (2014年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上

(2014年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上

admin2018-06-30  57
问题 (2014年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上
选项 A、当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B、当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C、当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D、当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)
答案D
解析 解1  由于g(0)=f’(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即
                          f(x)≤g(x)
    故应选(D))．
    解2  令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1—x)一f(1)x，则
                    F’(x)=f’(x)+f(0)一f(1)，f"(x)=f"(x)．
    当f"(x)≥0时，F"(x)≥0．则曲线y=F(x)在区间[0，1]上是凹的，又F(0)=F(1)=0，
    从而，当x∈[0，1]时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D)．
    解3  令F(x)=f(x)一g(x)=f(x)一f(0)(1一x)一f(1)x，则
           F(x)=f(x)[(1一x)+x]一f(0)(1一x)一f(1)x
               =(1一x)[f(x)一f(0)]一x[f(1)一f(x)]
               =x(1一x)f’(ξ)一x(1一x)f’(η)    (ξ∈(0，x)。η∈(x，1))
               =x(1一x)[f’(ξ)一f’(η)]
    当f"(x)≥0时，f’(x)单调增，f’(ξ)≤f’(η)．从而，当x∈[0，1]时F(x)≤0，即
    f(x)≤g(x)，故应选(D)．
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