设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。如果A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。

admin2017-02-13 71

问题设A为三阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，令β＝α₁+α₂+α₃。
如果A³β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式｜A+2E｜。

选项

答案根据A³β=Aβ可得 A(β，Aβ，A²β)=(Aβ，A²β，A³β)=(Aβ，A²β，Aβ)=(β，Aβ，A²β)[*]，令P=(β，Aβ，A²β)，则矩阵P是可你的，P^-1AP=[*]=B，根据相似矩阵的秩及行列式相等，有r(A-E)= r(B-E)=[*]=2，｜A+2E｜=｜B+2E｜=[*]=6。

解析

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考研数学三

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