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[2001年] 设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组( )．

admin2019-05-10  29
问题 [2001年]  设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=秩(A)，则线性方程组(    )．
选项 A、AX=α必有无穷多解
B、AX=α必有唯一解
C、=0仅有零解   
D、=0必有非零解
答案D
解析 齐次线性方程组解的情况的判定关键是要弄清楚该方程组的未知数个数与系数矩阵秩之间的关系，对非齐次方程组解的情况判定的关键是要弄清楚该方程组的增广矩阵与系数矩阵A的秩的关系．若秩(A)=秩()，则该非齐次方程组必有在秩()=秩(A)=r的前提下考察r与未知数个数n之间的关系，进一步了解解的情况．
解一  因秩=秩(A)≤n＜n+1(n+1为未知数个数)，即系数矩阵非列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，=0必有非零解．仅(D)入选．
解二    由秩=秩(A)知，α必为A的列向量组的线性组合，因而秩([A:α])=秩(A)．由命题4．1．1．2(2)知，Ax=α有解，但有多少个解尚不能确定．
    如秩(A)＜n，则由命题2．4．1．2(4)知，AX=α必有无穷多解，故(B)不对．但如果秩(A)=n，由命题2．4．1．2(3)知，AX=α必有唯一解，故(A)不对．因(C)中方程组的系数矩阵不是列满秩，由命题2．4．1．1(1)知，该方程组必有非零解，故(C)不成立．因而仅(D)入选．
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考研数学二

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