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考研
下列结论正确的是( ).
下列结论正确的是( ).
admin
2020-12-10
39
问题
下列结论正确的是( ).
选项
A、若A,B特征值相同,则A~B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A,B特征值相同,则A,B等价
D、A,B的特征值相同且A,B都可对角化,则A~B
答案
D
解析
令
,因为|λE-A|=|λE-B|=λ
2
(λ-1),所以A,B特征值相同,但r(A)=2≠r(B)=1,故A,B不相似,A不正确;
对
,显然λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=1,而r(A)=2,所以B不正确;
由(A),A,B特征值相同,A,B的秩不一定相等,故C不正确。
设A,B的特征值相同且A,B都可对角化,令其特征值为λ
1
,λ
2
,…λ
n
,因为A,B都可对角化,
所以存在可逆阵P
1
,P
2
使得
,从而有P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
,于是
即A~B,故选D.
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考研数学二
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