2. 专升本
  3. 求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．

求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．

admin2017-03-30  13
问题 求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．
选项
答案如图所示，设曲线y=lnx在区间(2，6)内一点为x0，所围面积为S(x0)，则过点(x0，lnx0)的切线方程为 [*] y—lnx0=[*](x—x0)， 即 y=lnx0一1+[*] [*] 故 [*] 令S′(x0)=0，得x0=4．又因为当x＜4时，S′(x0)＜0，当x＞4时，S′(x0)＞0，所以x0=4为极小值点，根据题意也就是最小值点，故曲线y=lnx在区间(2，6)内取点x=4时，使该点的切线与直线x=2，x=6及曲线y=lnx所围成的平面图形面积最小．
解析 设所求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点为(x0，lnx0)，即可表示出过该点的切线方程，画出图形，利用积分以及导数可求解．
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