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求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点,使该点的切线与直线x=2,x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小.
求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点,使该点的切线与直线x=2,x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小.
admin
2017-03-30
15
问题
求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点,使该点的切线与直线x=2,x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小.
选项
答案
如图所示,设曲线y=lnx在区间(2,6)内一点为x
0
,所围面积为S(x
0
),则过点(x
0
,lnx
0
)的切线方程为 [*] y—lnx
0
=[*](x—x
0
), 即 y=lnx
0
一1+[*] [*] 故 [*] 令S′(x
0
)=0,得x
0
=4.又因为当x<4时,S′(x
0
)<0,当x>4时,S′(x
0
)>0,所以x
0
=4为极小值点,根据题意也就是最小值点,故曲线y=lnx在区间(2,6)内取点x=4时,使该点的切线与直线x=2,x=6及曲线y=lnx所围成的平面图形面积最小.
解析
设所求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一点为(x
0
,lnx
0
),即可表示出过该点的切线方程,画出图形,利用积分以及导数可求解.
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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