求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．

admin2017-03-30 16

问题求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．

选项

答案如图所示，设曲线y=lnx在区间(2，6)内一点为x₀，所围面积为S(x₀)，则过点(x₀，lnx₀)的切线方程为 [*] y—lnx₀=[*](x—x₀)，即 y=lnx₀一1+[*] [*] 故 [*] 令S′(x₀)=0，得x₀=4．又因为当x＜4时，S′(x₀)＜0，当x＞4时，S′(x₀)＞0，所以x₀=4为极小值点，根据题意也就是最小值点，故曲线y=lnx在区间(2，6)内取点x=4时，使该点的切线与直线x=2，x=6及曲线y=lnx所围成的平面图形面积最小．

解析设所求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点为(x₀，lnx₀)，即可表示出过该点的切线方程，画出图形，利用积分以及导数可求解．

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求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一点，使该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围成的平面图形面积最小．

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