微分方程(2xy2+ey+1)dx+(2x2y+xey+2y)dy=0的通解为_____________．

admin2020-11-16 35

问题微分方程(2xy²+e^y+1)dx+(2x²y+xe^y+2y)dy=0的通解为_____________．

选项

答案x+x²y²+xe^y+y²=C，C∈R

解析令P(x，y)=2xy²+e^y+1，Q(x，y)=2x²y+xe^y+2y，
因为

所以(2xy²+e^y+1)dx+(2x²y+xe^y+2y)dy=0为全微分方程．
方法一：

故原方程的通解为
         x+x²y²+xe^y+y²=C，C∈R．
方法二：
由(xy²+e^y+1)dx+(2x²y+xe^y+2y)dy=0得
dx+(2xy²dx+2x²ydy)+(e^ydx+xe^ydy)+2ydy=0，即
               d(x+x²y²+xe^y+y²)=0，
故原方程的通解为
            x+x²y²+xe^y+y²=C，C∈R．

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