设A为n阶非零矩阵，且A2=A,r(A)=r(0＜r＜n).求|5E+A|。

admin2021-11-09 71

问题设A为n阶非零矩阵，且A²=A,r(A)=r(0＜r＜n).求|5E+A|。

选项

答案因为A²=A得A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)=n,推出A可以对角化。由A²=A，得∣A∣·∣E-A∣=0，所以矩阵A的特征值为λ=0或1，因为r(A)=r且0＜r＜n,所以0和1都为A的特征值，且λ=1为r重特征值，λ=0为n-r重特征值，所以5E+A的特征值为λ=6（r重），λ=5（n-r重），故|5E+A|=5^n-r×6^r.

解析

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