设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n).求|5E+A|。

admin2021-11-09  34

问题 设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n).求|5E+A|。

选项

答案因为A2=A得A(E-A)=O得r(A)+r(E-A)=n,推出A可以对角化。 由A2=A,得∣A∣·∣E-A∣=0,所以矩阵A的特征值为λ=0或1, 因为r(A)=r且0<r<n,所以0和1都为A的特征值,且λ=1为r重特征值,λ=0为n-r重特征值,所以5E+A的特征值为λ=6(r重),λ=5(n-r重),故|5E+A|=5n-r×6r.

解析
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