设f(χ)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y＝0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(χ)．

admin2019-08-23 71

问题设f(χ)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y＝0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(χ)．

选项

答案由f′(χ)＝f(χ)＝a(χ－1)得 f(χ)＝[a∫(χ－1)e^∫－1dχdχ＋C]e^－∫－dχ＝Ce^χaχ，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝e^χ－aχ． V(a)＝π∫₀¹f²(χ)dχ＝[*]，由V′(a)＝π(－2＋[*])＝0得a＝3，因为V〞(a)＝[*]＞0，所以当a＝3时，旋转体的体积最小，故f(χ)＝e^χ－3χ．

解析

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考研数学二

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