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设A是4阶矩阵,λi(i=1,2,3,4)是矩阵A的4个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,α4,令β=α1+α2+α3+α4。 (Ⅰ)证明β,Aβ,A2β,A3β线性无关; (Ⅱ)如果A4β=Aβ,求A-E的秩。
设A是4阶矩阵,λi(i=1,2,3,4)是矩阵A的4个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,α3,α4,令β=α1+α2+α3+α4。 (Ⅰ)证明β,Aβ,A2β,A3β线性无关; (Ⅱ)如果A4β=Aβ,求A-E的秩。
admin
2019-01-25
35
问题
设A是4阶矩阵,λ
i
(i=1,2,3,4)是矩阵A的4个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,令β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
。
(Ⅰ)证明β,Aβ,A
2
β,A
3
β线性无关;
(Ⅱ)如果A
4
β=Aβ,求A-E的秩。
选项
答案
(Ⅰ)设 k
1
β+k
2
Aβ+k
3
Aβ+k
4
A
3
β=0, 由题意可知Aα
i
=λ
i
α(i=1,2,3,4),则有下列式子成立 Aβ=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
+Aα
4
=λ
1
α
1
+λ
2
α+λ
3
α
3
+λ
4
α
4
, A
2
β=A
2
α
1
+A
2
α
2
+A
2
α
3
+A
2
α
4
=λ
2
1
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
2
3
α
3
+λ
2
α
4
, A
3
β=A
3
α
1
+A
3
α
2
+A
3
α
3
+A
3
α
4
=λ
3
1
α
1
+λ
3
2
α
2
+λ
3
3
α
3
+λ
3
4
α
4
。 将上述三个式子代入k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β+k
4
A
3
β=0可得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
2
1
+k
4
λ
3
1
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
+k
4
λ
3
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
2
3
+k
4
λ
3
3
)α
3
+(k
1
+k
2
λ
4
+k
3
λ
2
4
+k
4
λ
3
4
)α
4
=0, 由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是对应于不同特征值的特征向量,因此线性无关,从而有 [*] 系数行列式为范德蒙德行列式 [*] 因此必有k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0,根据线性无关的定义可知,β,Aβ,A
2
β,A
3
β线性无关。 (Ⅱ)已知A
4
β=Aβ,因此有 A(β,Aβ,A
2
β,A
3
β)=(Aβ,A
2
β,A
3
β,A
4
β)=(Aβ,A
2
β,A
3
β,Aβ) [*] 令P=(β,β,A
2
β,A
3
β),由β,Aβ,A
2
β,A
3
β线性无关可知矩阵P可逆。上式最后的矩阵设为B,则有 [*]
解析
本题考查向量组线性无关的证明及利用相似矩阵求秩。第一问通过已知列出向量组的线性组合表达式,证明系数全部为零即可,其中对任意不为0的数m,λ
m
是矩阵A
m
的特征值。第二问找出一个与矩阵A相似的矩阵B,相似矩阵有相同的特征值和特征向量,因此A-E的秩等于B-E的秩。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8hP4777K
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考研数学三
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