设f(x)二阶可导,且,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0.

admin2019-09-04  55

问题 设f(x)二阶可导,且,f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0.

选项

答案由[*]得f(0)=1,f’(0)=0, f(0)=f(1)=1,由罗尔定理,存在c∈(0,1),使得f’(c)=0.令φ(x)=x2f’(x) φ(0)=φ(c)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=2xf’(x)+x2f’’(x),于是2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)-0, 再由ξ≠0得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0.

解析
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