已知求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.

admin2014-02-06  45

问题 已知求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]得到A的特征值是λ1=1一a,λ2=a,λ3=a+1.由[*]得到属于λ1=1一n的特征向量是α1=k1(1,0,1)T,k1≠0。由[*]得到属于λ2=n的特征向量是α2=k2(1,1—2a,1)T,k2≠0.由[*]得到属于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2一a,一4a,a+2)T,k3≠0.如果λ1,λ2,λ3互不相同,即1一a≠a,1一a≠a+1,a≠a+1,即[*]且a≠0,则矩阵A有3个不同的特征值,A可以相似对角化。若[*]即λ12=[*]此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化.若a=0,即λ13=1,此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化.

解析
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