已知求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

admin2014-02-06 78

问题已知

求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]得到A的特征值是λ₁=1一a，λ₂=a，λ₃=a+1．由[*]得到属于λ₁=1一n的特征向量是α₁=k₁(1，0，1)^T，k₁≠0。由[*]得到属于λ₂=n的特征向量是α₂=k₂(1，1—2a，1)^T，k₂≠0．由[*]得到属于λ₃=a+1的特征向量α₃=k₃(2一a，一4a，a+2)^T，k₃≠0．如果λ₁，λ₂，λ₃互不相同，即1一a≠a，1一a≠a+1，a≠a+1，即[*]且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化。若[*]即λ₁=λ₂=[*]此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．若a=0，即λ₁=λ₃=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．

解析

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考研数学一

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