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  3. 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明： xn存在，并求该极限。

设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明： xn存在，并求该极限。

admin2021-06-16  106
问题 设数列{xn}满足0＜x1＜1，ln(1+xn)=－1(n=1,2,…),证明：
xn存在，并求该极限。
选项
答案当0＜x＜1时，ln(1+x)＜x＜ex－1,由0＜x1＜1可知， 0＜[*]－1=ln(1+x1)＜x1＜1 从而0＜x2＜1,同理可证当0＜xk＜1时，xk+1同样满足0＜xk+1＜1,由数学归纳法知对一切n=1,2,…,有0＜xn＜1时，即数列{xn}是有界的； 又当0＜xn＜1时，xn+1＜[*]－1=ln(1+xn)＜xn，即数列{xn}单调减少，由单调有界准则可知[*]xn存在，将该极限值记为a，则a≥0。 对ln(1+xn)=[*]－1两边取极限，得ln(1+a)=ea－1, 设f(x)=ex－1－ln(1+x)，当0＜x＜1时，f’(x)=ex－[*]＞0,因此f(x)单调增加，由f(0)=0可知f(x)＞0,从而只有a=0,即[*]xn=0.
解析
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考研数学二

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