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设数列{xn}满足0<x1<1,ln(1+xn)=-1(n=1,2,…),证明: xn存在,并求该极限。
设数列{xn}满足0<x1<1,ln(1+xn)=-1(n=1,2,…),证明: xn存在,并求该极限。
admin
2021-06-16
94
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<1,ln(1+x
n
)=
-1(n=1,2,…),证明:
x
n
存在,并求该极限。
选项
答案
当0<x<1时,ln(1+x)<x<e
x
-1,由0<x
1
<1可知, 0<[*]-1=ln(1+x
1
)<x
1
<1 从而0<x
2
<1,同理可证当0<x
k
<1时,x
k+1
同样满足0<x
k+1
<1,由数学归纳法知对一切n=1,2,…,有0<x
n
<1时,即数列{x
n
}是有界的; 又当0<x
n
<1时,x
n+1
<[*]-1=ln(1+x
n
)<x
n
,即数列{x
n
}单调减少,由单调有界准则可知[*]x
n
存在,将该极限值记为a,则a≥0。 对ln(1+x
n
)=[*]-1两边取极限,得ln(1+a)=e
a
-1, 设f(x)=e
x
-1-ln(1+x),当0<x<1时,f’(x)=e
x
-[*]>0,因此f(x)单调增加,由f(0)=0可知f(x)>0,从而只有a=0,即[*]x
n
=0.
解析
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考研数学二
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