2. 考研
  3. 设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，求对角矩阵A，使B与A相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．

设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，求对角矩阵A，使B与A相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．

admin2021-02-25  65
问题 设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，求对角矩阵A，使B与A相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．
选项
答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得A的特征值λ1=0，λ2=λ3=2．于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)2的特征值为k2和(k+2)2(二重)．令矩阵 [*] 由B～∧． 要使矩阵B为正定矩阵，只需其特征值全大于零．因此当k≠0且k≠-2时，B为正定矩阵．
解析 本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法．由矩阵A的特征值求出B的特征值，即可判断B的正定性．另一方法是利用正交变换化A为对角矩阵，代入B可解此题．
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考研数学二

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