设矩阵，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，求对角矩阵A，使B与A相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．

admin2021-02-25 53

问题设矩阵

，矩阵B=(kE+A)²，其中k为实数，求对角矩阵A，使B与A相似．并求k为何值时，B为正定矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得A的特征值λ₁=0，λ₂=λ₃=2．于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重)，而矩阵B=(kE+A)²的特征值为k²和(k+2)²(二重)．令矩阵 [*] 由B～∧．要使矩阵B为正定矩阵，只需其特征值全大于零．因此当k≠0且k≠-2时，B为正定矩阵．

解析本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法．由矩阵A的特征值求出B的特征值，即可判断B的正定性．另一方法是利用正交变换化A为对角矩阵，代入B可解此题．

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