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  3. 若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f’’(x)-f(x)=x，则∫π-πf(x)cosxdx=( )．

若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f’’(x)-f(x)=x，则∫π-πf(x)cosxdx=( )．

admin2017-10-25  37
问题 若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f’’(x)-f(x)=x，则∫π-πf(x)cosxdx=(    )．
选项 A、f’(π)-f’(-π)
B、
C、f(π)-f(-π)
D、
答案B
解析 利用对称区间上奇函数的定积分为零的性质及定积分的分部积分法即可．
∫-ππf(x)cosxdx=∫-ππf(x)dsinx=f(x)sinx｜-ππ -∫-ππf’(x)sinxdx
    =∫-ππf’(x)dcosx=f’(x)cosx｜-ππ-∫-ππf’’(x)cosxdx
    =f’(-π)-f’(π)-∫-ππf’’(x)cosxdx
    =f’(-π)-f’(π)-∫-ππ[f(x)+x]cosxdx
    =f’(-π)-f’(π)∫-ππf(x)cosxdx-∫-ππxcosdx
    =f(-π)-f’(π)-∫-ππf(x)cosxdx-0
    =f’(-π)-f’(π)-∫-ππf(x)cos xdx，
移项，得∫-ππf(x)cosxdx=
故应选(B)．
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考研数学一

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