设f(x)在[0，1]上具有连续导数，且f(0)+f(1)=0。证明：｜∫01f(x)dx≤∫01｜f’(x)｜dx。

admin2018-05-25 32

问题设f(x)在[0，1]上具有连续导数，且f(0)+f(1)=0。证明：
｜∫₀¹f(x)dx≤

∫₀¹｜f’(x)｜dx。

选项

答案对任意x∈[0，1]，由牛顿一莱布尼茨定理可得，f(x)一f(0)=∫₀^xf’(t)dt，f(x)一f(1)= 一∫_x¹f’(t)dt，且已知f(0)+f(1)=0，所以2f(x)=∫₀^xf’(t)dt一∫_x¹f’(t)dt，两边积分得 2∫₀¹f(x)dx=∫₀¹[∫₀^xf’(t)dt—∫_x¹f’(t)dt]dx， [*] 命题得证。

解析

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考研数学一

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