2. 考研
  3. 设由曲线y=与直线y=a(其中常数a满足0＜a＜1)以及x=0．x=1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．

设由曲线y=与直线y=a(其中常数a满足0＜a＜1)以及x=0．x=1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．

admin2019-08-06  69
问题 设由曲线y=与直线y=a(其中常数a满足0＜a＜1)以及x=0．x=1围成的平面图形(如图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a)，求V(a)的最小值与最小值点．
选项
答案由曲线y=[*]与直线y=a(其中0＜a＜1)以及x=0，x=1围成的平面图 D1={(x，y)｜a≤y≤1，0≤x≤[*]}， D2={(x，y)｜0≤y≤a，[*]≤x≤1}． 在D1绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状是圆形薄片，其半径[*]厚度为dy，从而这个圆形薄片的体积dV=π(1一y2)dy，于是区域D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 V1(a)=f一π(1一y2)dy=π∫a1(1一y2)dy=π[1一a一[*]． 在D2绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状为圆环形薄片，其内半径为[*]， 外半径为1，厚度为dy，从而这个圆环形薄片的体积为dV=π[1一(1一y2)]dy=πy2dy，故区域D2绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积 V2(a)=∫0aπy2dy=[*]a3． 把V1(a)与V2(a)相加，就得到了 V(a)=V1(a)+V2(a)=π([*]a3)． 由于 V’(a)=π(2a2—1)=[*] [*]
解析
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考研数学三

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