[2009年] 设A，P为三阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP= 若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则QTAQ为( )．

admin2021-01-19 51

问题 [2009年] 设A，P为三阶矩阵，P^T为P的转置矩阵，且P^TAP=

若P=[α₁，α₂，α₃]，Q=[α₁+α₂，α₂，α₃]，则Q^TAQ为( )．

选项

答案注意到Q的列向量为P的列向量的线性组合，利用命题2．1．2．3先将Q写成P与一数字矩阵的乘积．然后计算Q^TAQ．也可用初等矩阵的运算性质(见命题2．2．5．2)求解．首先将Q及Q^T改写成矩阵乘积形式，然后利用初等矩阵的运算性质计算： Q=[α₁+α₂，α₂，α₃]=[α₁，α₂，α₃][*]=PE₁₂(1)，Q^T=[PE₁₂(1)]^T=E₁₂^T(1)P^T，则Q^TAQ=E₁₂^T(1)PTAPE₁₂(1)=E₁₂^T(1)[*]E₁₂(1)=E₂₁(1)[[*]E₁₂(1)] =E₂₁(1)[*]

解析

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