设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2019-08-01 112

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃一2x₂x₃．
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案(Ⅰ)f的矩阵为A=[*]，由特征方程 [*] 得A的特征值为λ₁=a，λ₂=a一2，λ₃=a+1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0．若λ₁=a=0，则λ₂=一2＜0，λ₃=1，不合题意；若λ₂一a一2=0，则a=2，λ₁=2，λ₃=3，符合题意；若λ₃=a+1=0，则a=一1，λ₁=一1＜0，λ₂=一3＜0，不合题意，故a=2．

解析

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考研数学二

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