2. 考研
  3. 设f(x)可导，且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的)，g(x)连续，且当f(x)≠0时g(x)可导，令φ(x)=g(x)｜f(x)｜，讨论φ(x)的可导性．

设f(x)可导，且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的)，g(x)连续，且当f(x)≠0时g(x)可导，令φ(x)=g(x)｜f(x)｜，讨论φ(x)的可导性．

admin2017-07-26  50
问题 设f(x)可导，且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的)，g(x)连续，且当f(x)≠0时g(x)可导，令φ(x)=g(x)｜f(x)｜，讨论φ(x)的可导性．
选项
答案设x0为分段点． 若f(x0)≠0，则由题设可知，存在δ＞0，使得当｜x—x0｜＜δ时，f(x)与f(x0)同号，于是在该邻域内必有P(x)=f(x)g(x)或φ(x)=—f(x)g(x)之一成立，所以φ(x)在点x0处必可导． 若f(x0)=0，不妨假设 [*] 所以，φ(x)在x0处可导→f’(x0)g(x0)=0．且当f’(x0)g(x0)=0时，φ’(x0)=0．
解析 这是分段函数的可导性问题．只需讨论在分段点x0处是否可导．分f(x0)≠0与f(x0)=0两种情形讨论．
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考研数学三

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