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设函数f(x)在[0,π]上连续,且 ∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0. 试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且 ∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0. 试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2017-10-23
44
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且
∫
0
π
f(x)dx=∫
0
π
f(x)cosxdx=0.
试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,则有F(0)=0,F(π)=0.又因为 0=∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
cosxdF(x)=F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx=∫
0
π
F(x)sindx, 所以存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内F(x)sinx恒为正或恒为负,均与∫
0
π
F(x)sinxdx=0矛盾.但当ξ∈(0,π)时sinξ≠0,故F(ξ)=0. 由以上证得,存在满足0<ξ<π的ξ,使得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0. 再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理知,至少存在ξ
1
∈(0,f)和ξ
2
∈(ξ,π),使 F’(ξ
1
)=F’(ξ
2
)=0,即 f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
解析
令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,则F(0)=F(π)=0.若由条件∫
0
π
f(x)cosxdx=0能找到另一点ξ∈(0,π),使F(ξ)=0,再用两次罗尔定理即可.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/8zX4777K
0
考研数学三
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