2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且 ∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0． 试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且 ∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0． 试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2017-10-23  60
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且
    ∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0．
试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0．又因为 0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sindx， 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，因若不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，均与∫0πF(x)sinxdx=0矛盾．但当ξ∈(0，π)时sinξ≠0，故F(ξ)=0． 由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0． 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，f)和ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即 f(ξ1)=f(ξ2)=0．
解析 令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=F(π)=0．若由条件∫0πf(x)cosxdx=0能找到另一点ξ∈(0，π)，使F(ξ)=0，再用两次罗尔定理即可．
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考研数学三

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