下列结论正确的是( )

admin2016-03-18 96

问题下列结论正确的是( )

选项 A、若A，B特征值相同，则A～B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A，B特征值相同，则A，B等价
D、A，B的特征值相同且A，B都可对角化，则A～B

答案D

解析令

，因为｜λE－A｜=｜λE－B｜=λ²(λ－1)，所以A，B特征值相同，但r(A)一2≠r(B)=1，故A，B不相似，(A)不正确；
对

显然λ₁=λ₂=0，λ₃=1，而r(A)=2，所以(B)不正确；
由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故(C)不正确；
设A，B的特征值相同且A，B都可对角化，令其特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B都可对角化，所以存在可逆阵P₁，P₂，使得

，从而有巧P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂，于是(P₁P₂^-1)^-1AP₁P₂^-1=B，令P₁P₂^-1=P，则P^-1AP=B，即A～B，选(D)

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考研数学一

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