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考研
下列结论正确的是( )
下列结论正确的是( )
admin
2016-03-18
108
问题
下列结论正确的是( )
选项
A、若A,B特征值相同,则A~B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A,B特征值相同,则A,B等价
D、A,B的特征值相同且A,B都可对角化,则A~B
答案
D
解析
令
,因为|λE-A|=|λE-B|=λ
2
(λ-1),所以A,B特征值相同,但r(A)一2≠r(B)=1,故A,B不相似,(A)不正确;
对
显然λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=1,而r(A)=2,所以(B)不正确;
由(A),A,B特征值相同,A,B的秩不一定相等,故(C)不正确;
设A,B的特征值相同且A,B都可对角化,令其特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,因为A,B都可对角化,所以存在可逆阵P
1
,P
2
,使得
,从而有巧P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
,于是(P
1
P
2
-1
)
-1
AP
1
P
2
-1
=B,令P
1
P
2
-1
=P,则P
-1
AP=B,即A~B,选(D)
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考研数学一
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