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  3. 下列结论正确的是( )

下列结论正确的是( )

admin2016-03-18  100
问题 下列结论正确的是(     )
选项 A、若A，B特征值相同，则A～B
B、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C、若A，B特征值相同，则A，B等价
D、A，B的特征值相同且A，B都可对角化，则A～B
答案D
解析 令，因为｜λE－A｜=｜λE－B｜=λ2(λ－1)，所以A，B特征值相同，但r(A)一2≠r(B)=1，故A，B不相似，(A)不正确；
对显然λ1=λ2=0，λ3=1，而r(A)=2，所以(B)不正确；
由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故(C)不正确；
设A，B的特征值相同且A，B都可对角化，令其特征值为λ1，λ2，…，λn，因为A，B都可对角化，所以存在可逆阵P1，P2，使得，从而有巧P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P1P2-1=P，则P-1AP=B，即A～B，选(D)
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考研数学一

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