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设f(x)在(0,+∞)内二阶可导,在[0,+∞)有连续的导数,且f’’(x)>0(x>0),求证:F(x)=在(0,+∞)是凹函数.
设f(x)在(0,+∞)内二阶可导,在[0,+∞)有连续的导数,且f’’(x)>0(x>0),求证:F(x)=在(0,+∞)是凹函数.
admin
2014-05-20
42
问题
设f(x)在(0,+∞)内二阶可导,在[0,+∞)有连续的导数,且f
’’
(x)>0(x>0),求证:F(x)=
在(0,+∞)是凹函数.
选项
答案
由题设条件可求得[*]下证F
’’
(x)>0(x>0).由[*],有g
’
(x)=x2f
’’
(x)+2xf
’
(x)一2xf
’
(x)一2f(x)+2f(x)=x
2
f
’’
(x),由于f
’’
(x)>0(x>0)→g
’
(x)>0(x>0).又g(x)在[0,+∞)连续→g(x)在[0,+∞)单调增加→g(x)>g(0)=0(x>0)→F
’’
(x)>0(x>0).因此F(x)在(0,+∞)是凹函数.
解析
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考研数学一
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