设f(x)在(0，+∞)内二阶可导，在[0，+∞)有连续的导数，且f’’(x)>0(x>0)，求证：F(x)=在(0，+∞)是凹函数．

admin2014-05-20 72

问题设f(x)在(0，+∞)内二阶可导，在[0，+∞)有连续的导数，且f^’’(x)>0(x>0)，求证：F(x)=

在(0，+∞)是凹函数．

选项

答案由题设条件可求得[*]下证F^’’(x)>0(x>0)．由[*]，有g^’(x)=x2f^’’(x)+2xf^’(x)一2xf^’(x)一2f(x)+2f(x)=x²f^’’(x)，由于f^’’(x)>0(x>0)→g^’(x)>0(x>0)．又g(x)在[0，+∞)连续→g(x)在[0，+∞)单调增加→g(x)>g(0)=0(x>0)→F^’’(x)>0(x>0)．因此F(x)在(0，+∞)是凹函数．

解析

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