设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

admin2021-11-09 71

问题设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

选项

答案因为B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B，所以B为n阶实对称矩阵．对于任意的实n维列向量x，有x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^T+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)．当x≠0时，x^Tx＞0，(Ax)^T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意实n维列向量x≠0，都有x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)＞0．即B为正定矩阵．

解析本题主要考查正定矩阵的判定方法．只要证明B为对称矩阵，且对任意的实n维列向量x，都有x^TBx＞0即可．

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