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设A为mxn实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证当λ>0时矩阵B为正定矩阵.
设A为mxn实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+ATA,试证当λ>0时矩阵B为正定矩阵.
admin
2021-11-09
64
问题
设A为mxn实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知矩阵B=λE+A
T
A,试证当λ>0时矩阵B为正定矩阵.
选项
答案
因为B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B,所以B为n阶实对称矩阵.对于任意的实n维列向量x,有x
T
Bx=x
T
(λE+A
T
A)x=λx
T
+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax).当x≠0时,x
T
x>0,(Ax)
T
(Ax)≥0.因此,当λ>0时,对任意实n维列向量x≠0,都有x
T
Bx=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)>0.即B为正定矩阵.
解析
本题主要考查正定矩阵的判定方法.只要证明B为对称矩阵,且对任意的实n维列向量x,都有x
T
Bx>0即可.
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考研数学二
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