设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

admin2021-11-09 51

问题设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+A^TA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

选项

答案因为B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B，所以B为n阶实对称矩阵．对于任意的实n维列向量x，有x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^T+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)．当x≠0时，x^Tx＞0，(Ax)^T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意实n维列向量x≠0，都有x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)＞0．即B为正定矩阵．

解析本题主要考查正定矩阵的判定方法．只要证明B为对称矩阵，且对任意的实n维列向量x，都有x^TBx＞0即可．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/6ry4777K

考研数学二

相关试题推荐

设一抛物线y＝aχ2＋bχ＋c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与χ轴所围图形的面积最小．
设f(χ)连续，则tf(χ－t)dt＝_______．
设A为四阶非零矩阵，且r(A*)＝1，则()．
设f(χ)二阶可导，f(1)＝0，令φ(χ)＝χ2f(χ)，证明：存在ξ∈(0，1)，使得φ〞(ξ)＝0．
设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．
证明：当χ＞0时，arctanχ＋．
设f(x)∈C[a,b],在（a,b)内二阶可导，且f"(x)≥0,Φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数，且.证明：.
已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，若二次型f的标准形为f＝y12＋2y22＋5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。
设求方程组Ax=b的全部解．
按下列要求举例：(1)一个有限集合.(2)一个无限集合.(3)一个空集.(4)一个集合是另一个集合的子集.

随机试题

钨极氩弧焊机的调试内容主要是对电源参数、控制系统的功能以及其精度、供气系统的完好性、焊枪的发热情况等进行调试。()
关于阴茎癌的转移途径，不常见的是
犬，1岁，体况中等，体温39．3℃。肚腹胀满，呕吐，咳嗽痰多，痰白清稀，舌苔白润。若选用中药治疗，应以下述哪个方剂为主进行加减。
小儿生长发育的一般规律，不正确的是（）
在计算个体工商户的生产、经营所得时，不得在税前列支的项目有(　　)。Ⅰ．赞助支出Ⅱ．分配给投资者的股利Ⅲ．业主的工资支出Ⅳ．管理费用
经盘点损失的面粉应转出进项税额为(　　)元。该企业当期可抵扣的进项税额为(　　)元。
在一个C程序中______。
Accordingtothepassage,whichofthefollowingisuncommonintheUS?
Mr.Greyhastwosons,______arefamousdancers.
A、AmericansarehappierthanEuropeans.B、TheGDPofEuropeishigherthanthatofAmerica.C、Peopleallovertheworldchooset

最新回复(0)

设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

考研数学二

设一抛物线y＝aχ2＋bχ＋c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与χ轴所围图形的面积最小．

设f(χ)连续，则tf(χ－t)dt＝_______．

设A为四阶非零矩阵，且r(A*)＝1，则()．

设f(χ)二阶可导，f(1)＝0，令φ(χ)＝χ2f(χ)，证明：存在ξ∈(0，1)，使得φ〞(ξ)＝0．

设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．

证明：当χ＞0时，arctanχ＋．

设f(x)∈C[a,b],在（a,b)内二阶可导，且f"(x)≥0,Φ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数，且.证明：.

已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，若二次型f的标准形为f＝y12＋2y22＋5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。

设求方程组Ax=b的全部解．

按下列要求举例：(1)一个有限集合.(2)一个无限集合.(3)一个空集.(4)一个集合是另一个集合的子集.

钨极氩弧焊机的调试内容主要是对电源参数、控制系统的功能以及其精度、供气系统的完好性、焊枪的发热情况等进行调试。()

关于阴茎癌的转移途径，不常见的是

犬，1岁，体况中等，体温39．3℃。肚腹胀满，呕吐，咳嗽痰多，痰白清稀，舌苔白润。若选用中药治疗，应以下述哪个方剂为主进行加减。

小儿生长发育的一般规律，不正确的是（）

在计算个体工商户的生产、经营所得时，不得在税前列支的项目有( )。Ⅰ．赞助支出Ⅱ．分配给投资者的股利Ⅲ．业主的工资支出Ⅳ．管理费用

经盘点损失的面粉应转出进项税额为( )元。该企业当期可抵扣的进项税额为( )元。

在一个C程序中______。

Accordingtothepassage,whichofthefollowingisuncommonintheUS?

Mr.Greyhastwosons,______arefamousdancers.

A、AmericansarehappierthanEuropeans.B、TheGDPofEuropeishigherthanthatofAmerica.C、Peopleallovertheworldchooset

在计算个体工商户的生产、经营所得时，不得在税前列支的项目有(　　)。Ⅰ．赞助支出Ⅱ．分配给投资者的股利Ⅲ．业主的工资支出Ⅳ．管理费用

经盘点损失的面粉应转出进项税额为(　　)元。该企业当期可抵扣的进项税额为(　　)元。