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  3. 设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．

admin2021-11-09  73
问题 设A为mxn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证当λ＞0时矩阵B为正定矩阵．
选项
答案因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B，所以B为n阶实对称矩阵．对于任意的实n维列向量x，有xTBx=xT(λE+ATA)x=λxT+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)．当x≠0时，xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意实n维列向量x≠0，都有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0．即B为正定矩阵．
解析 本题主要考查正定矩阵的判定方法．只要证明B为对称矩阵，且对任意的实n维列向量x，都有xTBx＞0即可．
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考研数学二

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