设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量,其中α3为非零向量,且满足Aα1=α1-α2,Aα2=α2-α3,Aα3=α3. (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:矩阵A不可相似对角化.

admin2021-03-10  39

问题 设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量,其中α3为非零向量,且满足Aα1=α1-α2,Aα2=α2-α3,Aα3=α3
(Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关;
(Ⅱ)证明:矩阵A不可相似对角化.

选项

答案(Ⅰ)由Aα1=α1 -α2,Aα2=α2 -α3,Aα3=α3得 (A-E)α1=-α2,(A-E)α2=-α3,(A-E)α3=0, 令k1α1+k2α2+k3α3=0, (*) (*)两边左乘A-E得 -k1α2-k2α3=0, (**) (**)两边左乘A-E得 k1α3=0, 因为α3为非零向量,所以k1=0,代入(**)得k2=0,再代入(*)得k3=0, 故α1,α2,α3线性无关. (Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),且P可逆, 由(Aα1,Aα2,Aα3)=(α1-α2,α2-α3,α3)得 AP=P[*]5,或P-1 AP=[*] 即A~B, 显然B的特征值为λ1=λ2=λ3=1, E-B=[*] 由r(E-B)=2得B不可相似对角化,故A不可相似对角化.

解析
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