设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量，其中α3为非零向量，且满足Aα1＝α1－α2，Aα2＝α2－α3，Aα3＝α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．

admin2021-03-10 64

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃为三维列向量，其中α₃为非零向量，且满足Aα₁＝α₁－α₂，Aα₂＝α₂－α₃，Aα₃＝α₃．
(Ⅰ)证明：向量组α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．

选项

答案(Ⅰ)由Aα₁＝α₁ －α₂，Aα₂＝α₂ －α₃，Aα₃＝α₃得 (A－E)α₁＝－α₂，(A－E)α₂＝－α₃，(A－E)α₃＝0，令k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃＝0， (*) (*)两边左乘A－E得－k₁α₂－k₂α₃＝0， (**) (**)两边左乘A－E得 k₁α₃＝0，因为α₃为非零向量，所以k₁＝0，代入(**)得k₂＝0，再代入(*)得k₃＝0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)令P＝(α₁，α₂，α₃)，且P可逆，由(Aα₁，Aα₂，Aα₃)＝(α₁－α₂，α₂－α₃，α₃)得 AP＝P[*]5，或P^－1 AP＝[*] 即A～B，显然B的特征值为λ₁＝λ₂＝λ₃＝1， E－B＝[*] 由r(E－B)＝2得B不可相似对角化，故A不可相似对角化．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/w784777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量，其中α3为非零向量，且满足Aα1＝α1－α2，Aα2＝α2－α3，Aα3＝α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．

考研数学二

求极限

[2010年]设A=，存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为[1，2，1]T，求a，Q．

设α1=[1，0，一1，2]T，α2=[2，一1，一2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，一5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=______．

设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________。

设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=________．

设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=_________。

已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()

设z＝f(eχsiny，χy)，其中f二阶连续可偏导，求．

斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为_________

恩格斯在谈到巴尔扎克的《人间喜剧》时说，“从这里所学到的东西，比从当时所有职业的历史学家、经济学家和统计学家那里学到的全部东西还要多”。这说明了艺术具有______功能。()

男性，55岁，2周前体检发现左肺上叶肿块，直径约3cm，边界较清楚。入院手术切除后病理诊断为结核瘤。肿块中央部分为

男性，32岁，既往有胃病史。近一周来常感上腹部不适，4小时前突发上腹部剧烈疼痛，伴有恶心、呕吐。查体：腹部压痛、肌紧张，肝浊音缩小。X线检查可见膈下游离气体。首先考虑

宋代东京汴梁城的特点是()。

根据第五次全国人口普查的结果，我国男性占总人口的51.63%，女性占总人口的48.37%，那么人口的性别比为(　　)。

约公元前2070年，()建立了我国第一个奴隶制王朝夏朝。

下列情形构成挪用公款罪的是()。

Arapidmeansoflong-distancetransportationbecameanecessityfortheUnitedStatesassettlementspreadfartherwestward.F

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量，其中α3为非零向量，且满足Aα1＝α1－α2，Aα2＝α2－α3，Aα3＝α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．

考研数学二

求极限

[2010年]设A=，存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为[1，2，1]T，求a，Q．

设α1=[1，0，一1，2]T，α2=[2，一1，一2，6]T，α3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，一5，10]T，已知β不能由α1，α2，α3线性表出，则t=______．

设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________。

设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=________．

设二阶实对称矩阵A的一个特征值为λ1=1，属于λ1的特征向量为(1，一1)T，若｜A｜=一2，则A=_________。

已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是

设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()

设z＝f(eχsiny，χy)，其中f二阶连续可偏导，求．

斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为_________

恩格斯在谈到巴尔扎克的《人间喜剧》时说，“从这里所学到的东西，比从当时所有职业的历史学家、经济学家和统计学家那里学到的全部东西还要多”。这说明了艺术具有______功能。()

男性，55岁，2周前体检发现左肺上叶肿块，直径约3cm，边界较清楚。入院手术切除后病理诊断为结核瘤。肿块中央部分为

男性，32岁，既往有胃病史。近一周来常感上腹部不适，4小时前突发上腹部剧烈疼痛，伴有恶心、呕吐。查体：腹部压痛、肌紧张，肝浊音缩小。X线检查可见膈下游离气体。首先考虑

宋代东京汴梁城的特点是()。

根据第五次全国人口普查的结果，我国男性占总人口的51.63%，女性占总人口的48.37%，那么人口的性别比为( )。

约公元前2070年，()建立了我国第一个奴隶制王朝夏朝。

下列情形构成挪用公款罪的是()。

Arapidmeansoflong-distancetransportationbecameanecessityfortheUnitedStatesassettlementspreadfartherwestward.F

根据第五次全国人口普查的结果，我国男性占总人口的51.63%，女性占总人口的48.37%，那么人口的性别比为(　　)。