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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量,其中α3为非零向量,且满足Aα1=α1-α2,Aα2=α2-α3,Aα3=α3. (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:矩阵A不可相似对角化.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3为三维列向量,其中α3为非零向量,且满足Aα1=α1-α2,Aα2=α2-α3,Aα3=α3. (Ⅰ)证明:向量组α1,α2,α3线性无关; (Ⅱ)证明:矩阵A不可相似对角化.
admin
2021-03-10
43
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
为三维列向量,其中α
3
为非零向量,且满足Aα
1
=α
1
-α
2
,Aα
2
=α
2
-α
3
,Aα
3
=α
3
.
(Ⅰ)证明:向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关;
(Ⅱ)证明:矩阵A不可相似对角化.
选项
答案
(Ⅰ)由Aα
1
=α
1
-α
2
,Aα
2
=α
2
-α
3
,Aα
3
=α
3
得 (A-E)α
1
=-α
2
,(A-E)α
2
=-α
3
,(A-E)α
3
=0, 令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, (*) (*)两边左乘A-E得 -k
1
α
2
-k
2
α
3
=0, (**) (**)两边左乘A-E得 k
1
α
3
=0, 因为α
3
为非零向量,所以k
1
=0,代入(**)得k
2
=0,再代入(*)得k
3
=0, 故α
1
,α
2
,α
3
线性无关. (Ⅱ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),且P可逆, 由(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
-α
2
,α
2
-α
3
,α
3
)得 AP=P[*]5,或P
-1
AP=[*] 即A~B, 显然B的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1, E-B=[*] 由r(E-B)=2得B不可相似对角化,故A不可相似对角化.
解析
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