2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量，其中α3为非零向量，且满足Aα1＝α1－α2，Aα2＝α2－α3，Aα3＝α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量，其中α3为非零向量，且满足Aα1＝α1－α2，Aα2＝α2－α3，Aα3＝α3． (Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．

admin2021-03-10  104
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量，其中α3为非零向量，且满足Aα1＝α1－α2，Aα2＝α2－α3，Aα3＝α3．
(Ⅰ)证明：向量组α1，α2，α3线性无关；
(Ⅱ)证明：矩阵A不可相似对角化．
选项
答案(Ⅰ)由Aα1＝α1 －α2，Aα2＝α2 －α3，Aα3＝α3得 (A－E)α1＝－α2，(A－E)α2＝－α3，(A－E)α3＝0， 令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0， (*) (*)两边左乘A－E得 －k1α2－k2α3＝0， (**) (**)两边左乘A－E得 k1α3＝0， 因为α3为非零向量，所以k1＝0，代入(**)得k2＝0，再代入(*)得k3＝0， 故α1，α2，α3线性无关． (Ⅱ)令P＝(α1，α2，α3)，且P可逆， 由(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1－α2，α2－α3，α3)得 AP＝P[*]5，或P－1 AP＝[*] 即A～B， 显然B的特征值为λ1＝λ2＝λ3＝1， E－B＝[*] 由r(E－B)＝2得B不可相似对角化，故A不可相似对角化．
解析
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考研数学二

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