二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为y12＋y22，Q的第3列为①求A．②证明A＋E是正定矩阵．

admin2019-05-11 63

问题二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝X^TAX在正交变换X＝QY下化为y₁²＋y₂²，Q的第3列为

①求A．②证明A＋E是正定矩阵．

选项

答案①条件说明 Q^-1AQ＝Q^TAQ＝[*] 于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列＝[*](1，0，1)^T是A的特征值为。的特征向量．记α₁＝(1，0，1)^T，它也是A的特征值为0的特征向量． A是实对称矩阵，它的属于特征值1的特征向量都和α₁正交，即是方程式χ₁＋χ₃＝0的非零解． α₂＝(1，0，－1)^T，α₃＝(0，1，0)^T 是此方程式的基础解系，它们是A的特征值为1的两个特征向量．建立矩阵方程 A(α₁，α₂，α₃)＝(0，α₂，α₃)，两边做转置，得 [*] 解此矩阵方程 [*] ②A＋E也是实对称矩阵，特征值为2，2，1，因此是正定矩阵．

解析

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考研数学二

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二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为y12＋y22，Q的第3列为①求A．②证明A＋E是正定矩阵．

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