设a1,a2,…,an—1是n个实数,方阵 (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量. (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使P—1AP—A.

admin2020-03-10  56

问题 设a1,a2,…,an—1是n个实数,方阵

    (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量.
    (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使P—1AP—A.

选项

答案(1)λ是A的特征值,则λ应满足|λE一A|=0, 即 |λE一A|=0 [*] 将第2列乘λ,第3列乘λ2,…,第n列乘λn—1,加到第1列,再按第1列展开,得 [*] 得证ξ=[1,λ,λ2,…,λn—1]T是A的对应于λ的特征向量. (2)因λ1,λ2,…,λn互异,故特征向量ξ1,ξ2,…,ξn线性无关,取可逆阵P=[ξ1,ξ2,…,ξn],得 P—1AP=[*].

解析
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