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设a1,a2,…,an—1是n个实数,方阵 (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量. (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使P—1AP—A.
设a1,a2,…,an—1是n个实数,方阵 (1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ2,…,λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量. (2)若A有n个互异的特征值λ1,λ2,…,λn,求可逆阵P,使P—1AP—A.
admin
2020-03-10
76
问题
设a
1
,a
2
,…,a
n—1
是n个实数,方阵
(1)若λ是A的特征值,证明:ξ=[1,λ,λ
2
,…,λ
n—1
]
T
是A的对应于特征值λ的特征向量.
(2)若A有n个互异的特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,求可逆阵P,使P
—1
AP—A.
选项
答案
(1)λ是A的特征值,则λ应满足|λE一A|=0, 即 |λE一A|=0 [*] 将第2列乘λ,第3列乘λ
2
,…,第n列乘λ
n—1
,加到第1列,再按第1列展开,得 [*] 得证ξ=[1,λ,λ
2
,…,λ
n—1
]
T
是A的对应于λ的特征向量. (2)因λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异,故特征向量ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
线性无关,取可逆阵P=[ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
],得 P
—1
AP=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9AD4777K
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考研数学三
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