2. 考研
  3. 设a1，a2，…，an—1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量． (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使P—1AP—A．

设a1，a2，…，an—1是n个实数，方阵 (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量． (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使P—1AP—A．

admin2020-03-10  105
问题 设a1，a2，…，an—1是n个实数，方阵

    (1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量．
    (2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使P—1AP—A．
选项
答案(1)λ是A的特征值，则λ应满足｜λE一A｜=0， 即 ｜λE一A｜=0 [*] 将第2列乘λ，第3列乘λ2，…，第n列乘λn—1，加到第1列，再按第1列展开，得 [*] 得证ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于λ的特征向量． (2)因λ1，λ2，…，λn互异，故特征向量ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，取可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，得 P—1AP=[*]．
解析
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考研数学三

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