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考研
设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
设n阶矩阵 求A的特征值和特征向量;
admin
2019-07-16
49
问题
设n阶矩阵
求A的特征值和特征向量;
选项
答案
1°当b≠0时,A的特征多项式为 [*] =[λ-1(n-1)b](λ-(1-b)
n-1
, 故A的特征值为λ
1
=1+(n-1)b,λ
2
=…=λ
n
=1-b. 对于λ
1
=1+(n-1)b,设对应的一个特征向量为ξ
1
,则 [*] =[1+(n-1)b]ξ
1
, 解得ξ
1
=(1,1,…,)
T
。所以,属于λ
1
的全部特征向量为 kξ
1
=k(1,1,…,1)
T
,其中k为任意非零常数. 对于λ
2
=…=λ
n
=1-b,解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0,由 [*] 解得基础解系为ξ
2
=(1,-1,0,…,0)
T
,ξ
3
=(1,0,-1,…,0)
T
,…,ξ
n
=(1,0,0,…,-1)
T
.故属于λ
2
=…=λ
n
的全部特征向量为 k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
+…+k
n
ξ
n
,其中k
2
,k
3
,…,k
n
为不全为零的任意常数. 2°当b=0时,A=E,A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n
=1,任意n维非零列向量均是A的特征向量.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/9AJ4777K
0
考研数学三
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