设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n).求|5E+A|.

admin2018-05-25  28

问题 设A为n阶非零矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n).求|5E+A|.

选项

答案因为A2=A=>A(E-A)=O=>r(A)+r(B-A)=n=>A可以对角化.由A2=A,得|A|.|E—A|=0.所以矩阵A的特征值为λ=0或1.因为r(A)=r且0<r<n,所以0和1都为A的特征值.且λ=l为r重特征值.λ=0为n-r重特征值,所以5E+A的特征值为λ=6(r重).λ=5(n-r重).故|5E+A|=5n-r×6r

解析
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