2. 考研
  3. (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜=｜λE－B｜，且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．

(1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜=｜λE－B｜，且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．

admin2019-09-27  23
问题 (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜=｜λE－B｜，且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设A=，矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．
选项
答案(1)因为｜λE－A｜=｜λE－B｜，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn，因为A，B都可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 P1－1AP1=[*]，P2－1BP2=[*] 由P1－1AP1=P2－1BP2得(P1P2－1)－1A(P1P2－1)=B， 取P1P2－1=P，则P－1AP=B，即A～B． (2)由｜λE－A｜=[*]=(λ－1)2(λ－2)=0得 A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1； 由｜λE－B｜=[*]=(λ－1)2(λ－2)=0得 B的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1． 由E－A=[*]得r(E－A)=1，即A可相似对角化； 再由E－B=[*]得r(E－B)=1，即B可相似对角化，故A～B． 由2E－A→[*]得A的属于λ1=2的线性无关特征向量为α1=[*]； 由E－A→[*]得 A的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为α2=[*] 令P1=[*]； 由2E－B→[*]得B的属于λ1=2的线性无关特征向量为β1=[*]； 由E－B→[*]得 B的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为β2=[*]， 令P2=[*]，再令P=P1P2－1=[*]，则P－1AP=B．
解析
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考研数学一

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