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(1)设A,B为n阶矩阵,|λE-A|=|λE-B|,且A,B都可相似对角化,证明:A~B. (2)设A=,矩阵A,B是否相似?若A,B相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
(1)设A,B为n阶矩阵,|λE-A|=|λE-B|,且A,B都可相似对角化,证明:A~B. (2)设A=,矩阵A,B是否相似?若A,B相似,求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
admin
2019-09-27
12
问题
(1)设A,B为n阶矩阵,|λE-A|=|λE-B|,且A,B都可相似对角化,证明:A~B.
(2)设A=
,矩阵A,B是否相似?若A,B相似,求可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B.
选项
答案
(1)因为|λE-A|=|λE-B|,所以A,B有相同的特征值,设为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,因为A,B都可相似对角化,所以存在可逆矩阵P
1
,P
2
,使得 P
1
-1
AP
1
=[*],P
2
-1
BP
2
=[*] 由P
1
-1
AP
1
=P
2
-1
BP
2
得(P
1
P
2
-1
)
-1
A(P
1
P
2
-1
)=B, 取P
1
P
2
-1
=P,则P
-1
AP=B,即A~B. (2)由|λE-A|=[*]=(λ-1)
2
(λ-2)=0得 A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=λ
3
=1; 由|λE-B|=[*]=(λ-1)
2
(λ-2)=0得 B的特征值为λ
1
=2,λ
2
=λ
3
=1. 由E-A=[*]得r(E-A)=1,即A可相似对角化; 再由E-B=[*]得r(E-B)=1,即B可相似对角化,故A~B. 由2E-A→[*]得A的属于λ
1
=2的线性无关特征向量为α
1
=[*]; 由E-A→[*]得 A的属于λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为α
2
=[*] 令P
1
=[*]; 由2E-B→[*]得B的属于λ
1
=2的线性无关特征向量为β
1
=[*]; 由E-B→[*]得 B的属于λ
2
=λ
3
=1的线性无关的特征向量为β
2
=[*], 令P
2
=[*],再令P=P
1
P
2
-1
=[*],则P
-1
AP=B.
解析
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