设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数f"(x),又设连接点A=(a,f(a))及点B=(b,f(b))的线段与f(x)的图形有交点P,而P点异于A,B两点,证明存在点c∈(a,b),使得f"(c)=0。

admin2015-11-16  40

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数f"(x),又设连接点A=(a,f(a))及点B=(b,f(b))的线段与f(x)的图形有交点P,而P点异于A,B两点,证明存在点c∈(a,b),使得f"(c)=0。

选项

答案解 [*] 如右图所示,设P点坐标为(x0,f(x0)),由拉格朗日中值定理,存在点ξ1∈(a,x0),ξ2∈(x0,b)使 [*] 注意到A,B,P三点在同一条直线上,因此AP,PB有相同斜率,故有 f’(ξ1)=f’(ξ2)。 对函数f’(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,则存在点c∈(ξ1,ξ2),使f"(c)=0。

解析
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