2. 考研
  3. (95年)已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)＝R(Ⅱ)＝3，R(Ⅲ)＝4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

(95年)已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)＝R(Ⅱ)＝3，R(Ⅲ)＝4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

admin2017-05-26  23
问题 (95年)已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)＝R(Ⅱ)＝3，R(Ⅲ)＝4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
选项
答案因R(Ⅰ)＝R(Ⅱ)＝3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故存在数λ1，λ2，λ3，使得 α4＝λ1α1＋λ2α2＋λ3α3 (*) 设有数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4(α5－α4)＝0 将(*)式代入上式并化简，得 (k1－λ1k4)α1＋(k2－λ2k4)α2＋(k3－λ3k4)α3＋k4α5＝0，由R(Ⅲ)一4知α1，α2，α3，α5线性无关，所以 [*] 得k1＝k2＝k3＝k4＝0，故α1，α2，α3，α5－α4线性无关，即其秩为4．
解析
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考研数学三

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