设A是n阶方阵，且A2=A，证明： A+E)2=E+(2k－1)A．

admin2019-02-26 69

问题设A是n阶方阵，且A²=A，证明： A+E)²=E+(2^k－1)A．

选项

答案用归纳法．当k=1时，A+E=A+E，成立．假设k－1时等式成立，即(A+E)^k－1=E+(2^k－1－1)A．证明k时成立， (A+E)^k=(A+E)(A+E)^－1 =(A+E)[E+(2^k－1－1)A] =E+A+(2^k－1－1)A+(2^k－1－1)A² =E+[2(2^k－1－1)+1]A =E+(2^k－1)A．

解析

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