2. 考研
  3. 设y=f(x)在[0，+∞)上有二阶连续导数，且f”(x)＞0，y=g(x)是y=f(x)在(0，+∞)内任意点x0处的切线方程，F(x)=f(x)-g(x)，则( )

设y=f(x)在[0，+∞)上有二阶连续导数，且f”(x)＞0，y=g(x)是y=f(x)在(0，+∞)内任意点x0处的切线方程，F(x)=f(x)-g(x)，则( )

admin2022-05-20  32
问题 设y=f(x)在[0，+∞)上有二阶连续导数，且f”(x)＞0，y=g(x)是y=f(x)在(0，+∞)内任意点x0处的切线方程，F(x)=f(x)-g(x)，则(          )
选项 A、F(x)在x0处取得最大值
B、F(x)在x0处取得最小值
C、(x0，F(x0))为y=F(x)的拐点
D、F(x)在x0处不取得极值
答案B
解析 将F(x)在x0处应用泰勒公式，有
    F(x)=F(x0)+F’(x0)(x-x0)+1/2!F"(ξ)(x-x0)2，
其中ξ介于x0与x之间．
    由已知，F(x0)=0，F’(x0)=0，F"(ξ)＞0，故
    F(x)=1/2!F"(ξ)(x-x0)2≥0，
等号仅在x=x0处成立，从而F(x)≥F(x0)，即x0是F(x)在(0，+∞)内唯一的最小值点，B正确．
    由F"(x)=f"(x)＞0，x∈(0，+∞)，知(x0，F(x0))不是y=F(x)的拐点．
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考研数学三

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