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设y=f(x)在[0,+∞)上有二阶连续导数,且f”(x)>0,y=g(x)是y=f(x)在(0,+∞)内任意点x0处的切线方程,F(x)=f(x)-g(x),则( )
设y=f(x)在[0,+∞)上有二阶连续导数,且f”(x)>0,y=g(x)是y=f(x)在(0,+∞)内任意点x0处的切线方程,F(x)=f(x)-g(x),则( )
admin
2022-05-20
54
问题
设y=f(x)在[0,+∞)上有二阶连续导数,且f”(x)>0,y=g(x)是y=f(x)在(0,+∞)内任意点x
0
处的切线方程,F(x)=f(x)-g(x),则( )
选项
A、F(x)在x
0
处取得最大值
B、F(x)在x
0
处取得最小值
C、(x
0
,F(x
0
))为y=F(x)的拐点
D、F(x)在x
0
处不取得极值
答案
B
解析
将F(x)在x
0
处应用泰勒公式,有
F(x)=F(x
0
)+F’(x
0
)(x-x
0
)+1/2!F"(ξ)(x-x
0
)
2
,
其中ξ介于x
0
与x之间.
由已知,F(x
0
)=0,F’(x
0
)=0,F"(ξ)>0,故
F(x)=1/2!F"(ξ)(x-x
0
)
2
≥0,
等号仅在x=x
0
处成立,从而F(x)≥F(x
0
),即x
0
是F(x)在(0,+∞)内唯一的最小值点,B正确.
由F"(x)=f"(x)>0,x∈(0,+∞),知(x
0
,F(x
0
))不是y=F(x)的拐点.
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考研数学三
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