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设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。 (Ⅰ)计算并化简PQ; (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α2A—1α≠b。
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵 其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。 (Ⅰ)计算并化简PQ; (Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α2A—1α≠b。
admin
2017-12-29
67
问题
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
其中A
*
是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。
(Ⅰ)计算并化简PQ;
(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α
2
A
—1
α≠b。
选项
答案
(Ⅰ)由AA
*
=A
*
A=|A|E及A
*
=|A|A
—1
有 [*] (Ⅱ)由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算,有 [*] =|A|
2
(b一α
T
A
—1
α)。 因为矩阵A可逆,行列式|A|≠0,故|Q|=|A|(b一α
T
A
—1
α)。 由此可知,Q可逆的充分必要条件是b—α
T
A
—1
α≠0,即α
T
A
—1
α≠b。
解析
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考研数学三
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