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设y=y(x)是由方程y2+xy+x2一x=0确定的满足y(1)=一1的连续函数,则=_______________.
设y=y(x)是由方程y2+xy+x2一x=0确定的满足y(1)=一1的连续函数,则=_______________.
admin
2014-02-06
62
问题
设y=y(x)是由方程y
2
+xy+x
2
一x=0确定的满足y(1)=一1的连续函数,则
=_______________.
选项
A、一2.
B、3.
C、1.
D、2.
答案
C
解析
【分析一】由隐函数存在定理知,由方程y
2
+xy+x
2
一x=0确定的满足y(1)=一1的连续函数存.r=1邻域必有连续的导数,将方程对x求导得2yy
’
+y+xy
’
+2x一1=0,解出
于是y
’
(1)=0→
选C.
【分析二】由隐函数存在定理知,由方程y
2
+xy+x
2
一x=0确定的满足y(1)=一1的隐函数二次连续可导.且.2yy
’
+xy
’
+y+2x一1=0,(*)在(*)式中令x=1,y(1)=一1,可得y
’
(1)=0.将(*)式再对x求导一次,得2yy
’’
+2y
12
+y
’
+xy
’’
+y
’
+2=0,(**)在(**)式中令x=1,y(1)=一1,y
’
(1)=0可得一y
’’
(1)+2=0
y
’’
(1)=2.利刚洛必达法则和y(1)=一1,y
’
(1)=0,y
’’
(1)=2可得
选C.
【分析三】如同【分析二】求出y
’
(1)=0,y
’’
(2)=2后,用泰勒公式得
即y(x)+1=(x一1)
2
+o((x一1)
2
).于是
选C.
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考研数学一
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