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设向量组B:b1,b2,…,br能由向量组A:a1,a2,…,as线性表示为(b1,b2,…,br)=(a1,a2,…,as)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关,证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
设向量组B:b1,b2,…,br能由向量组A:a1,a2,…,as线性表示为(b1,b2,…,br)=(a1,a2,…,as)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关,证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
admin
2021-02-25
45
问题
设向量组B:b
1
,b
2
,…,b
r
能由向量组A:a
1
,a
2
,…,a
s
线性表示为(b
1
,b
2
,…,b
r
)=(a
1
,a
2
,…,a
s
)K,其中K为s×r矩阵,且向量组A线性无关,证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
选项
答案
记A=(a
1
,a
2
,…,a
s
),B=(b
1
,b
2
,…,b
r
),则有B=AK,必要性([*]):设向量组B线性无关,知R(B)=r,又由B=AK,知R(K)≥R(B)=r,而R(K)≤r,于是R(K)=r.充分性([*]):设R(K)=r.要证向量组B线性无关,只要证R(B)=r,即证Bx=0只有零解即可.若Bx=0,即AKx=0,又因R(A)=s,则Kx=0,又因R(K)=r,则有x=0,即方程组Bx=0只有零解,于是R(B)=r,即向量组B线性无关.
解析
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考研数学二
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