设向量组B：b1，b2，…，br能由向量组A：a1，a2，…，as线性表示为(b1，b2，…，br)=(a1，a2，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关，证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r．

admin2021-02-25 37

问题设向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…，a_s线性表示为(b₁，b₂，…，b_r)=(a₁，a₂，…，a_s)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关，证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r．

选项

答案记A=(a₁，a₂，…，a_s)，B=(b₁，b₂，…，b_r)，则有B=AK，必要性([*])：设向量组B线性无关，知R(B)=r，又由B=AK，知R(K)≥R(B)=r，而R(K)≤r，于是R(K)=r．充分性([*])：设R(K)=r．要证向量组B线性无关，只要证R(B)=r，即证Bx=0只有零解即可．若Bx=0，即AKx=0，又因R(A)=s，则Kx=0，又因R(K)=r，则有x=0，即方程组Bx=0只有零解，于是R(B)=r，即向量组B线性无关．

解析

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考研数学二

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设向量组B：b1，b2，…，br能由向量组A：a1，a2，…，as线性表示为(b1，b2，…，br)=(a1，a2，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关，证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r．

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