2. 考研
  3. 设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．

admin2021-02-25  109
问题 设函数f(x)处处可导，且(k＞0为常数)，又设x0为任意一点，数列{xn}满足xn=f(xn-1)(n=1，2，…)，试证：当n→∞时，数列{xn}的极限存在．
选项
答案先证{xn}单调． 由xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=(xn-xn-1)f’(ξn)，其中ξn在xn与xn-1之间． 又由已知条件，f(x)处处可导，且[*]，于是知f’(ξn)≥0，从而(xn+1-xn)与(xn-xn-1)同号，故{xn}单调． [*] 故由单调有界准则知，数列{xn}的极限存在．
解析
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考研数学二

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