设D为曲线y=x3与直线y=x所围成的两块区域，计算

admin2018-09-20 48

问题设D为曲线y=x³与直线y=x所围成的两块区域，计算

选项

答案画出区域D，如图1．5—10所示．第一象限中的阴影部分记为D₁，第三象限中的阴影部分记为D₂，有 [*] =e一1一(ue^u一e^u)|₀¹ =e一1一(e—e+1)=e一2，由对称性可得一∫₀¹cos 2xdx+∫_-1⁰cos 2xdx=一∫₀¹cos 2xdx+∫₀¹cos 2xdx=0，同理 ∫₀¹cos(x+x³)dx一∫_-1⁰cos(x+x³dx=∫₀¹cos(x+x³)dx-∫₀¹cos(x+x³)dx=0，所以原式=e一2．

解析

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一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．
[*]积分区域为圆域的一部分，被积函数又为f(x2+y2)的形式，应用极坐标系计算．所给二次积分的积分区域为它为圆域x2+y2≤a2在第一象限的1/2，即D={(r，θ)10≤r≤a，0≤θ≤π/4)．应改换为极坐标系计算：
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