设D为曲线y=x3与直线y=x所围成的两块区域，计算

admin2018-09-20 80

问题设D为曲线y=x³与直线y=x所围成的两块区域，计算

选项

答案画出区域D，如图1．5—10所示．第一象限中的阴影部分记为D₁，第三象限中的阴影部分记为D₂，有 [*] =e一1一(ue^u一e^u)|₀¹ =e一1一(e—e+1)=e一2，由对称性可得一∫₀¹cos 2xdx+∫_-1⁰cos 2xdx=一∫₀¹cos 2xdx+∫₀¹cos 2xdx=0，同理 ∫₀¹cos(x+x³)dx一∫_-1⁰cos(x+x³dx=∫₀¹cos(x+x³)dx-∫₀¹cos(x+x³)dx=0，所以原式=e一2．

解析

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[*]被积函数为无理式，先作变量代换化为有理式后再计算．用换元积分法，作变量代换于是X=(t2一1)2，dx=4(t2一1)tdt．当x从0变到1时，t从1变到，从而
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