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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0, 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
admin
2018-12-29
46
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
2
:bx+2cy+3a=0,
l
3
:cx+2ay+3b=0,
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。
选项
答案
先证必要性。设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则其线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于是[*]=0。 因为 [*] =6(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
—ab—ac—bc) =3(a+b+c)[(a—b)
2
+(b—c)
2
+(c—a)
2
], 但根据题设可知(a—b)
2
+(b—c)
2
+(c—a)
2
≠0,故a+b+c=0。 再证充分性。由a+b+c=0,则从必要性的证明中可知,[*]。由于 [*]=2(ac—b
2
)=[*]≠0, 故r(A)=2。于是r(A)=[*]=2。 因此方程组(1)有唯一解,即三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点。
解析
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考研数学一
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