已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0，试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-12-29 48

问题已知平面上三条不同直线的方程分别为
l₁：ax+2by+3c=0，
l₂：bx+2cy+3a=0，
l₃：cx+2ay+3b=0，
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

选项

答案先证必要性。设三条直线l₁，l₂，l₃交于一点，则其线性方程组 [*] 有唯一解，故系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2，于是[*]=0。因为 [*] =6(a+b+c)(a²+b²+c²—ab—ac—bc) =3(a+b+c)[(a—b)²+(b—c)²+(c—a)²]，但根据题设可知(a—b)²+(b—c)²+(c—a)²≠0，故a+b+c=0。再证充分性。由a+b+c=0，则从必要性的证明中可知，[*]。由于 [*]=2(ac—b²)=[*]≠0，故r(A)=2。于是r(A)=[*]=2。因此方程组(1)有唯一解，即三条直线l₁，l₂，l₃交于一点。

解析

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考研数学一

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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0，试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

考研数学一

设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=()

行列式D==_______．

设a＞0为常数，xn=，求xn．

设随机变量X的分布函数为F(x)，引入函数F1(x)=F(ax)，F2(x)=F3(x)，F3(x)=1-F(-x)，F4(x)=F(x+a)，其中a为任意常数，则下列函数为分布函数的是()

设向量组α1=(6，λ+1，7)，α2=(λ，2，2)，α3=(λ，1，0)线性相关，则()

计算三重积分其中积分区域Ω为x2+y2+z2≤1．

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω．求Ω的形心坐标．

假设X=sinZ，y=cosZ，其中Z在区间[－π，π]上均匀分布，求随机变量X和Y的相关系数ρ．试说明X和Y是否独立．

在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．

计算下列二重积分：(I)其中D是由曲线围成的区域；(Ⅱ)，其中D是由曲线，x2+(y一1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

在安全疏散中，厂房内主通道宽度不应少于()。

口闭难开，牙关紧闭称为

下列选项中，不符合《测绘成果管理条例》中测绘成果汇交的说法的是()。

根据《建设工程监理规范》(GB／T50319-2013)，总监理工程师应及时签发《工程暂停令》的有()。

纤维应在()℃的干拌温度下不变质、不发脆，使用纤维必须符合环保要求，不危害身体健康。

某年金，前4年无流入，后5年每年年初流入300万元，假设年利率为10%，其现值为()万元。

工业革命中，科学技术的突出发展主要表现在()方面。

设3阶矩阵A有3个不同的正特征值，B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32，则A的相似对角阵为_______．

Digitalphotographyisstillnewenoughthatmostofushaveyettoformanopinionaboutit【1】developapointofview.Butthis

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

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设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=()

行列式D==_______．

设a＞0为常数，xn=，求xn．

设随机变量X的分布函数为F(x)，引入函数F1(x)=F(ax)，F2(x)=F3(x)，F3(x)=1-F(-x)，F4(x)=F(x+a)，其中a为任意常数，则下列函数为分布函数的是()

设向量组α1=(6，λ+1，7)，α2=(λ，2，2)，α3=(λ，1，0)线性相关，则()

计算三重积分其中积分区域Ω为x2+y2+z2≤1．

设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω．求Ω的形心坐标．

假设X=sinZ，y=cosZ，其中Z在区间[－π，π]上均匀分布，求随机变量X和Y的相关系数ρ．试说明X和Y是否独立．

在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．

计算下列二重积分：(I)其中D是由曲线围成的区域；(Ⅱ)，其中D是由曲线，x2+(y一1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．

在安全疏散中，厂房内主通道宽度不应少于()。

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下列选项中，不符合《测绘成果管理条例》中测绘成果汇交的说法的是()。

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设3阶矩阵A有3个不同的正特征值，B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32，则A的相似对角阵为_______．

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