(93年)设二阶常系数线性微分方程y”+αy’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

admin2018-07-27 46

问题 (93年)设二阶常系数线性微分方程y”+αy’+βy=γe^x的一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x，试确定常数α、β、γ，并求该方程的通解．

选项

答案将y=e^2x+(1+x)e^x代入原方程得 (4+2α+β)e^2x+(3+2α+β)e^x+(1+α+β)xe^x=γe^x 比较同类项的系数有 [*] 解得 α=一3，β=2，γ=一1 即原方程为 y"一3y’+2y=一e^x 其特征方程为r²一3r+2=0 解得 r₁=1，r₂=2 故齐次通解为 [*]=C₁e^x+C₂e^2x 则原方程通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+e^2x+(1+x)e^x

解析

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考研数学二

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设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3，(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2；(Ⅱ)求常数a，b及通解．
设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．
设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：
设η1,…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1,…，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1．证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是该方程组的解．

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Thefirealarmsarechecked______toensurethattheyworkproperlyincaseofanemergency.

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