设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (1)求二次型f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

admin2016-05-09 92

问题设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝aχ₁²＋aχ₂²＋(a－1)χ₃²＋2χ₁χ₃－2χ₂χ₃．
(1)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(2)若二次型厂的规范形为y₁²＋y₂²，求a的值．

选项

答案(1)二次型的矩阵为A＝[*]，则有｜λE－A｜＝[*] ＝(λ－a)[*] ＝(λ－a)[(λ－a＋1)(λ－a＋1)－1]－[0＋(λ－a)] ＝(λ－a)[(λ－a＋1)(λ－a＋1)－2] ＝(λ－a)[λ²－2aλ＋λ＋a²－a－2] ＝(λ－a)(λ－a＋2)(λ－a－1)，所以所有特征值是λ₁＝a，λ₂＝a－2，λ₃＝a＋1． (2)若规范形为y₁²＋y₂²，说明有两个特征值为正，一个为0．则由于a－2＜a＜a＋1，所以a－2＝0，即a＝2．

解析

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考研数学一

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设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (1)求二次型f的矩阵的所有特征值； (2)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

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